Miks nulliga ei saa jagada?

29. september 2008, 12:09

Nulliga jagamise tulemus pole defineeritud
seetõttu, et kõik katsed nulliga jagamise tulemust defineerida viivad
vastuoludeni. Seda nähtust selgitatakse Utah ülikooli kodulehel järgmiselt.

Alustuseks oleks vaja defineerida „jagamine”. Kahe arvu, näiteks a ja b, jagatiseks on arv r,
r=a/b
mis rahuldab tingimust
a=r*b.

Niisiis, kui b=0 ehk me tahame mingit arvu nulliga jagada, peaks vastuseks olema selline arv r, mille korral
r*0=a. (1)
Aga
r*0=0
kõikide r väärtuste korral, seega on ainuke võrduse (1) lahendus a=0.

Nüüd võiks väita, et võrdust (1) lahendab ka r=lõpmatus. Nii väidetakse sageli, kuid mis asi on lõpmatus? See ei ole arv! Miks mitte? Sest kui me käsitleksime seda arvuna, jõuaksime kiiresti vastuoludeni. Küsime näiteks, mis arvu saaksime, kui liidaksime lõpmatusele mingi numbri. Levinud vastuseks on, et lõpmatus pluss suvaline number on ikkagi lõpmatus. Seega:
lõpmatus=lõpmatus+1=lõpmatus+2
Mis viiks järelduseni, et 1 võrdub 2, kui lõpmatus oleks number. Sellest saaksime aga edasi järeldada, et kõik numbrid on võrdsed ning kogu numbrisüsteem kukuks kokku.

Aga 0/0?

Ülalpool nägime, et võrdust (1) ei saa lahendada, kui a ei võrdu nulliga. Mida sellisel juhul tähendaks nulliga jagamine?

Kui proovime leida lahendust tehtele 0/0, jõuame jälle vastuoludeni. Nimetame tehte 0/0 vastuseks arvu z. Seega peaks z rahuldama tingimust
z*0=0. (2)
See tehe on täiesti võimalik, kuna tehe kehtib iga arvu z korral. See aga tähendaks, et 0/0 vastuseks võiks olla ükskõik mis arv. Võiksime väita, et see on 1 või 2 ning jõuda jälle vastuoluni, kuna 1 ei võrdu 2.

Võib-olla leidub tehtele (2) siiski numbriline lahendus, mis on mingis mõttes eriline ning me pole seda veel avastanud? Järgmiseks veidi keerulisem lähenemine. Jagamine on pidev protsess. Oletame, et b ja c pole kumbki 0. Sellisel juhul oleksid tehete a/b ja a/c vastused lähedased arvud, kui b ja c oleksid lähedased arvud. Sama kehtib ka jagatise lugeja kohta (välja arvatud asjaolu, et lugeja võib olla 0).

Nüüd oletame, et tehtel 0/0 on olemas numbriline väärtus (ükskõik mis - praegu me seda veel ei tea), ning võtame vaatluse alla olukorra, kus nii a kui b ning jagatis a/b muutuvad üha väiksemaks ja väiksemaks. Sellisel juhul peaks jagatise vastus üha lähemale tulema tundmatule väärtusele 0/0.

Arvusid a ja b saame valida mitmel erineval viisil, samuti nende väiksemaks muutumist. Oletame näiteks, et a=b kogu protsessi vältel. Näiteks võime valida, et
a=b = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ....
Kuna
a=b,
saaksime iga a väärtuse korral vastuseks arvu 1. Seega võiksime arvata, et 0/0 peaks olema 1? Samas võime ütelda ka, et
b = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ....
ning määrata a olema kaks korda suurem kui b. Kuigi me muudaksime neid arve ühtlaselt üha väiksemaks, saaksime alati vastuseks arvu 2. Seega, kui me lõpuks mõlema arvuga nullini välja jõuaksime, peaks 0/0 olema 2. Aga just näitasime ju, et see peaks olema 1! Tegelikult selgub, et kui lubame a-l olla r korda suurem kui b, saaksime iga kord vastuseks just selle r väärtuse, mille valisime.

Nii jõuame jälle vastuoludeni ning peame lõpuks tunnistama, et tehte 0/0 vastus peab jääma määratlematuks.

Raadio ettevõtlikule inimesele

Äripäeva raadio 92.4

Hetkel eetris

Kava

    Vaata kogu kava
    Äripäev http://www.aripaev.ee/img/id-aripaev.svg
    05. November 2008, 12:01
    Otsi:

    Ava täpsem otsing